Родился 24 августа 1961 года в Луганске.
В 1977 году старший тренер ворошиловградской "Зари" Йожеф Сабо, наблюдая за матчами юношеских команд города, приметил шустрого паренька, выделявшегося на поле не по годам разумной игрой. Школьник Саша Заваров немедленно зачисляется в дублирующий состав, набирается ума-разума и через два года (27 апреля 1979 года) дебютирует в основном составе "Зари" в выездном матче с тбилисским "Динамо". В третьей игре против ростовского СКА при счете 0:2 новичок делает дубль, принося очко своей команде. Быстрого, азартного и остроатакующего форварда уже тогда характеризовали нестандартность действий, склонность к импровизации. Он отличался высокой стартовой скоростью, тонким пониманием игры, оригинальными игровыми решениями. Заварова без промедления включили в юношескую сборную СССР, которая в сентябре 19/9 года стала вторым призером чемпионата мира среди юниоров, проиграв в решающем матче сверстникам из Аргентины во главе с юным Марадоной и под руководством Луиса Сезара Менотти.